Բնական թվեր

Կան բնական թվերի սահմանման երկու մոտեցում, ըստ որոնց բնական են համարվում այն թվերը, որոնք օգտագործվում են՝
1.Առարկաների թվարկման (համարակալման) համար՝ առաջին առարկա, երկրորդ առարկա, երրորդ առարկա և այլն,
2.Առարկաների քանակի նշելու համար՝ չկան առարկաներ, մեկ առարկա, երկու առարկա և այլն …
Բացասական և ոչ ամբողջ (ռացիոնալ, իրական, …) թվերը բնական թվեր չեն կարող լինել։ Բոլոր բնական թվերի բազմությունը ընդունված է նշանակել N –ով:
Ցանկացած բնական թիվ կարելի է վերլուծել ըստ կարգերի, այսինքն ներկայացնել կարգային գումարելիների գումարի տեսքով, օրինակ
7584=7*1000+5*100+8*10+4
Թվերի վերլուծումն ըստ կարգերի կարելի է կիրառել նաև բազմանիշ տվեր գումարելիս, օրինակ գումարենք 468 և 732թվերը:
468+732=(400+60+8)+(700+30+2)
Կիրառելով գումարման զուգորդական և տեղափոխական օրենքները, ստանում ենք`
378+569=(300+70+8)+(500+60+9)=(300+500)+(70+60)+(8+9)=800+130+17
Կարգային միավորները կարելի է գրել նաև 10 թվի բնական ցուցիչով աստիճաննեի գումարի տեքով, օրինակ՝
4376=4*103+3*102+7*101+9*100

Թվաբանական գործողություններ բնական թվերով, դրանց հատկությունները
Մաթեմատիկայում թվաբանական գործողություները 4-ն են՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում:
Գումարում՝
34+43=77
4003+4005=8008
Հանում՝
456-23=432
87-67=20
Բազմապատկում՝
23*56=1288
12*12=144

Բաժանում՝
675:5=135
4563:3=1521

Թվաբանական գործողությունների հատկություններին են՝
Գումարելիների տեղերը փոխելիս գումարը մնում է անփոփոխ։
Հանելիի ու տարբերության գումարը հավասար է նվազելիին։
Արտադրիչների տեղերը փոխելիս արտադրյալը մնում է անփոփոխ։
Բաժանարարի ու քանորդի արտադրյալը հավասար է բաժանելիին։

Պարզ և բաղադրյալ թվեր
Բնական թվերը կարող են լինել պարզ և բաղադրյալ։ Պարզ են կոչվում այն թվերը, որոնք ունեն միայն երկու բաժանարար՝ 1-ը և տվյալ թիվը։ Օրինակ՝ 2, 3, 5, 7, 11,13 ,17…: 2-ը միակ զույգ պարզ թիվն է։
Երեք և ավելի բաժանարար ունեցող թվերը կոչվում են բաղադրյալ։ Բացառություն է համարվում՝ 1 թիվը, որը ունի միայ մեկ բաժանարար՝ 1-ը, այն նույնպես համարվում է բաղադրյալ թիվ։

Բաժանման հայտանիշներ
2-ի բաժանվում են 0, 2, 4, 6, կամ 8 թվանշաններով վերջացող բոլոր թվերը։ Այդ թվերը կոչվում են զույգ։
Թիվը բաժանվում է 3-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի։
Թիվը բաժանվում է 4-ի եթե նրա վերջին 2 թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 4-ի, կամ դրանք 0-ներ են։
5-ի բաժանվում են միայն 0-ով կամ 5-ով վերջացող թվերը։
6-ի բաժանվում են 3-ի բաժանվող զույգ թվերը։
Թիվը բաժանվում է 8-ի եթե նրա վերջին 3 թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 8-ի, կամ դրանք 0-ներ են։
Թիվը բաժանինչպես հաշվարկման առումով, այնպես էլ համարակալման առումով)՝ կոչվում են բնական թվեր։
Բացասական և ոչ ամբողջ (ռացիոնալ, իրական, …) թվերը բնական թվեր չեն կարող լինել։ Բոլոր բնական թվերի բազմությունը ընդունված է նշանակել N –ով:

Ցանկացած բնական թիվ կարելի է վերլուծել ըստ կարգերի, այսինքն ներկայացնել կարգային գումարելիների գումարի տեսքով, օրինակ`
5789=5•1000 + 7•100 + 8•10 + 9

Թվերի վերլուծումն ըստ կարգերի կարելի է կիրառել նաև բազմանիշ տվեր գումարելիս, օրինակ գումարենք 564 և 782 թվերը:
564+782 = (500+60+4)+ (700+80+2)
Կիրառելով գումարման զուգորդական և տեղափոխական օրենքները, ստանում ենք`
564+782 = (500+60+4) + (700+80+2) = (500+700) + (60+80) + (4+2) = 1200 + 140 + 6
Թվաբանական գործողություններ բնական թվերով, դրանց հատկությունները
Մաթեմատիկայում թվաբանական գործողություները 4-ն են՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում:
Գումարում՝
37+93=130
706+463= 1169
Հանում՝
5023-4792=231
92-64=28
Բազմապատկում՝
87•95= 8265
62•24= 1488

Բաժանում՝
714 : 21= 34
312 : 6= 52

Թվաբանական գործողությունների հատկություններին են՝
Գումարելիների տեղերը փոխելիս գումարը մնում է անփոփոխ։
Հանելիի ու տարբերության գումարը հավասար է նվազելիին։
Արտադրիչների տեղերը փոխելիս արտադրյալը մնում է անփոփոխ։
Բաժանարարի ու քանորդի արտադրյալը հավասար է բաժանելիին։

Պարզ և բաղադրյալ թվեր
Բնական թվերը կարող են լինել պարզ և բաղադրյալ։ Պարզ են կոչվում այն թվերը, որոնք ունեն միայն երկու բաժանարար՝ 1-ը և տվյալ թիվը։ Օրինակ՝ 2, 3, 5, 7, 11,13 ,17…: 2-ը միակ զույգ պարզ թիվն է։
Երեք և ավելի բաժանարար ունեցող թվերը կոչվում են բաղադրյալ։ Բացառություն է համարվում՝ 1 թիվը, որը ունի միայ մեկ բաժանարար՝ 1-ը, այն նույնպես համարվում է բաղադրյալ թիվ։

Բաժանման հայտանիշներ
2-ի բաժանվում են 0, 2, 4, 6, կամ 8 թվանշաններով վերջացող բոլոր թվերը։ Այդ թվերը կոչվում են զույգ։
Թիվը բաժանվում է 3-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի։
Թիվը բաժանվում է 4-ի եթե նրա վերջին 2 թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 4-ի, կամ դրանք 0-ներ են։
5-ի բաժանվում են միայն 0-ով կամ 5-ով վերջացող թվերը։
6-ի բաժանվում են 3-ի բաժանվող զույգ թվերը։
Թիվը բաժանվում է 8-ի եթե նրա վերջին 3 թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 8-ի, կամ դրանք 0-ներ են։
Թիվը բաժանվում է 9-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ
Երկու բնական թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար է կոչվում այն ամենամեծ բնական թիվը, որին բաժանվում են տրված 2 թվերը անմնացորդ։
Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է՝
1. թվերը վերլուծել պարզ արտադրիչների ,
2. ստացած վերլուծումներում գտնել բոլոր ընդհանուր պարզ արտադրիչները,
3. հաշվել բոլոր ընդհանուր պարզ արտադրիչների արտադրյալը:
Օրինակ՝ 36 և 54-ը
36= 2•2•3•3 54= 2•3•3•3
2•3•3=18
18-ը 36 և 54 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է:

Երկու բնական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ է կոչվում այն ամենափոքր բնական թիվը, որը բաժանվում է տրված 2 թվերին անմնացորդ։
1. թվերը վերլուծել պարզ արտադրիչների ,
2. այդ թվերից որևէ մեկի վերլուծումը լրացնել մյուսի այն արտադրիչներով, որոնք չկան առաջին թվի վերլուծման մեջ,
3. հաշվել ստացված արտադրյալը:
Օրինակ՝18 և 24 թվերը:
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3
2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 72

72-ը 18 և 24 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է: վում է 9-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ
Երկու բնական թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար է կոչվում այն ամենամեծ բնական թիվը, որին բաժանվում են տրված 2 թվերը անմնացորդ։
Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է՝
1. թվերը վերլուծել պարզ արտադրիչների ,
2. ստացած վերլուծումներում գտնել բոլոր ընդհանուր պարզ արտադրիչները,
3. հաշվել բոլոր ընդհանուր պարզ արտադրիչների արտադրյալը:
Օրինակ՝ 18 և 54-ը
18=2*3*3 54=2*3*3*3
2*3*3=18
18-ը 18 և 54 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է:

Երկու բնական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ է կոչվում այն ամենափոքր բնական թիվը, որը բաժանվում է տրված 2 թվերին անմնացորդ։
1. թվերը վերլուծել պարզ արտադրիչների ,
2. այդ թվերից որևէ մեկի վերլուծումը լրացնել մյուսի այն արտադրիչներով, որոնք չկան առաջին թվի վերլուծման մեջ,
3. հաշվել ստացված արտադրյալը:
Օրինակ՝ 32 և 54 թվերը:
32=2*2*2*2*2 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3
2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 72

72-ը 18 և 24 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազlմապատիկն է:
1) պարզ թիվ է 17 և 29, քանի որ բաժանվում են իրենց վրա և 1:
2) 6-ի բազմապատիկ են 6,18,24
6:6=1
18:6=3
24:6=4
4)24_1,2,3,4,6,8,12,24

1)168:64=42
128:64=2
2) Թիվը բաժանվում է 9-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի։
174456:9=19384
3)2/3~ 0,(6), 3/5~0,6 0,75
4)11,13,17,19,23,29